U形凹槽与物块往复碰撞动力学 · 过程图全景仿真

(1) 物块与凹槽最终的速度大小

【核心原理】系统动量守恒定律

物块 $P$ 与凹槽 $Q$ 构成的系统在光滑水平地面上运动，水平方向所受合外力为零，系统总动量守恒。

当物块与凹槽最终相对静止时，设两者具有共同速度 $v$：

答案：物块与凹槽最终的速度大小为 $5\text{ m/s}$，方向水平向右。

(2) 物块与凹槽第一次碰撞前瞬间的速度大小

【核心原理】动量守恒定律 + 相对运动动能定理 / 动力学牛顿第二定律

从开始运动到第一次碰撞，物块在凹槽内向右相对滑动距离 $\Delta s_{\text{rel}} = \frac{L}{2} = 0.5\text{ m}$。

在此过程中，设物块受摩擦力大小为 $f = \mu m g = 0.2 \times 10m = 2m$：

• 物块 $P$ 受向左摩擦力，加速度大小 $a_1 = \mu g = 2\text{ m/s}^2$（减速）
• 凹槽 $Q$ 受向右摩擦力，加速度大小 $a_2 = \frac{f}{m} = 2\text{ m/s}^2$（加速）

设碰撞前瞬间物块速度为 $v_{P1}$，凹槽速度为 $v_{Q1}$：

由水平方向动量守恒：

由相对运动功能关系（或分别对 $P$ 和 $Q$ 列动能定理相减）：

联立方程组：

解得：

答案：第一次碰撞前瞬间，物块的速度大小为 $(5 + 2\sqrt{6})\text{ m/s} \approx 9.90\text{ m/s}$；凹槽的速度大小为 $(5 - 2\sqrt{6})\text{ m/s} \approx 0.10\text{ m/s}$。

(3) 当物块与凹槽相对静止时，凹槽在水平地面上发生的位移大小

【解法一：质心运动定理·秒杀法（最优雅严谨）】

1. 求全过程相对滑行总路程 $s_{\text{rel}}$：

因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞过程机械能守恒无损耗，全过程系统动能损失全部转化为克服摩擦生热：

2. 求全过程运动总时间 $t_{\text{total}}$：

在任意两个碰撞之间的滑行阶段，物块与凹槽的相对加速度大小恒为：

在完全弹性碰撞瞬间，因为物块与凹槽质量相等 ($m_P = m_Q = m$)，两物体发生完全速度交换（$v_P' = v_Q, v_Q' = v_P$）。相对速度的大小 $|v_{\text{rel}}| = |v_P - v_Q|$ 在碰撞瞬间保持完全不变，仅方向瞬间反向！

因此，相对速度的大小 $|v_{\text{rel}}|$ 从 $v_0 = 10\text{ m/s}$ 减为 $0$ 的全过程，斜率大小恒为 $4\text{ m/s}^2$，故全过程总历时：

3. 求系统质心总位移 $\Delta X_{\text{cm}}$：

系统不受水平外力，质心做速度恒为 $v_{\text{cm}} = \frac{m v_0 + 0}{2m} = 5\text{ m/s}$ 的匀速直线运动，故质心总位移：

4. 由末状态几何关系解出凹槽对地位移 $\Delta x_Q$：

初始时物块在凹槽正中央，相对凹槽左壁距离为 $0.5\text{ m}$：

• 第 1 阶段向右滑行 $0.5\text{ m}$，到达右壁（第 1 次碰撞）
• 剩余滑行距离：$12.5\text{ m} - 0.5\text{ m} = 12.0\text{ m} = 12 \times L$
• 恰好对应在凹槽左右两壁之间往复完整走过 12 个全长！
• 在第 12 次碰撞（左壁）后，物块再次向右滑行 $1.0\text{ m}$，速度恰好减为 0，恰好在凹槽右侧壁处达成共速与相对静止！

末状态物块相对凹槽左端的位置坐标为 $x_{P,\text{end}} - x_{Q,\text{end}} = 1.0\text{ m}$（比初始位置靠右了 $0.5\text{ m}$）。

两等质量物体的系统质心坐标 $X_{\text{cm}} = \frac{x_P + x_{Q,\text{mid}}}{2}$：

代入质心位移 $\Delta X_{\text{cm}} = 12.5\text{ m}$：

答案：凹槽在水平地面上发生的位移大小为 $12.25\text{ m}$（或 $\frac{49}{4}\text{ m}$）。